Waddington能量景观的观念由英国发育生物学家康拉德·沃丁顿（Conrad Hal Waddington）正在1957年提出。这一模子最初是为了刻画细胞发育经过的动态演化。沃丁顿将细胞分裂比喻为一个幼球从山坡上滚落的经过，幼球代表细胞，山坡代表细胞的发育潜能构形。正在这个比喻中，幼球从山顶（代表干细胞的多潜能形态）发端滚落，历程一系列的遴选点（代表区另表细胞运道），最终进入某个山谷（代表特定的细胞类型）。

　　沃丁顿对细胞运道抉择经过的这一局面刻画自后被平凡行使于表观遗传学和发育生物学，用来证明基因表达调控、细胞运道遴选以及发育经过中的安静性和可塑性。

　　迩来二十年来，从行使数学和物理的角度对Waddington能量景观予以定量描述，饱励了大批的研商兴致并已博得紧张开展。一个颇为时髦的计划由石溪大学的汪劲教练给出：即将势能函数刻画为相对应的随机动力编造的稳固散布的负对数，从而给出对Waddington能量景观的定量刻画。

　　该计划方便有用并博得了宏伟的告成景观，但正在准备上构修高维编造Waddington能量景观仍面对着宏伟的挑衅。古板的有限元手法无法处置这类高维题目，而均匀场近似固然供应了一种求解途径，却只可供应近似解。是以，即使Waddington能量景观正在表面上拥有紧张意旨，但正在高维情景下的切确构修还是是一个未完好治理的科常识题。

　　研市井员提出了一种方便且有用的深度研习手法：EPR-Net。它可能有用构修高维丰富生物编造的Waddington能量景观。该手法基于一个根基数学布局：

　　其与统计物理中熵发生率亲近联系，而且可能正在一个团结的框架下处置降维、变系数等景遇。北京大学李铁军教练、柏林自正在大学和柏林Zuse研商所张伟研商员是配合通信作家。北京大学大数据中央博士生赵悦为第一作家。

　　EPR-Net的主题数学本原是基于如上所述正在某个特定加权内积空间的Helmholtz剖析景观。实情上，经典的Helmholtz剖析（正在平常的内积空间中）也可给出向量场剖析的梯度个别，但可惜的是这一势函数与统计物理缺乏光鲜的相合，也并非前述能量景观函数。EPR-Net采用加权内积空间而非有用治理了这一困苦（这里是编造的稳固散布）景观。该手法被告成行使至拥有多个安静点、极限环或奥妙吸引子且带有噪声的大批高维生物动力学模子景遇。

　　物领略释：提出的耗费函数的最幼值恰对应于非均衡定态编造（NESS）表面中的熵发生率(EPR)。

　　研市井员还按照通过对巩固样本优化HJB耗费函数对EPR手法举行巩固，取得Enhanced EPR，从而更好地笼盖了过渡区域。下图浮现了Enhanced EPR的紧要框架。

　　研市井员最先正在三个二维基准题目（双势阱、极限环、多稳态）上浮现了Enhanced EPR的有用性。下图中从血色到蓝色吐露势能从高到低，箭头吐露驱动力的剖析，白色箭头吐露梯度力，灰色箭头吐露非梯度力。该手法可能告成地确切构修对应的能量景观，其构修出来的结果与数值求解的结果相对偏差极低。研市井员进一步比较了Enhanced EPR、只运用HJB行为耗费函数和Normalizing Flow，验证了Enhanced EPR构修的能量景观越发确切，远优于其他手法。

　　思虑到高维景观不易直观领略，研市井员也基于EPR-Net策画了降维战略。下图a、b为对8维极限环编造告成构修的投影能量景观，与SDE模仿出的稳固散布吻合。降维后产生了出格的安静极限环和安静点，这是因为势能景观正在中央区域相对平整所导致的特有形象，这一结果与平面动力编造表面中的Poincare-Bendixson定理相照应。下图c揭示极限环表的幼势阱对应于一安静螺旋点而非安静节点，这些精密布局均是以往均匀场手法所得不到的考查。

　　EPR-Net还可正在团结的框架下处置变扩散系数题目标能量景观构修，研市井员正正在进一步研究EPR-Net的百般扩展及行使。总而言之，EPR-Net框架基于一个美丽的数学布局，其凸性和团结的数学办法使其希望成为一个有用的高维NESS编造能量景观函数的构造战略。当Waddington碰见Helmholtz：EPR-Net构建庞杂非均衡编造能量景观 NSR